Köklü Sayılar TYT Matematik için en önemli konuların başında gelmektedir. Her sene köklü sayılarda ÖSYM tarafından en az 1 soru sorulduğunu da hesaba katarsak sınava girecek olan her öğrencinin mutlaka bilmesi gerekmektedir. Son yıllardaki TYT Matematik soru dağılımlarını incelediğimde Köklü sayılardan soru çıkmayan herhangi bir yıl görmedim. Her sene en az 1 soru çıktığı için bu yazımın başlığını daha iyi anlayacağını umuyorum. Durum böyle olunca senin için bu yazıyı hazırlamak istedim. Bu kadar önemli bir konuyu en anlaşılır ve basit şekilde öğrenmen için elimden geleni yapmaya çalıştım. Başta Köklü sayılar konu anlatımı, alıştırma testi ve çıkmış sorular olmak üzere bilmen gereken her şeyi bu yazımda bulabilirsin. Umarım az da olsa çalışmanda faydalı olabilir. Lafı uzatmadan başlayalım.
Köklü Sayılar TYT Matematik
İlk olarak köklü sayıların tanımıyla başlayalım ve birkaç örnek ile bunu pekiştirelim:
Köklü Sayıların Tanımı:
Tanım:$$
n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \text{ olmak üzere}, x^n = a \text{ eşitliğini sağlayan } x \text{ sayısına } a \text{‘nın } n. \text{ kökü denir ve }$$ $$ \sqrt[n]{a} \text{ biçiminde gösterilir. Eğer } n \text{ çift ise, } a \geq 0 \text{ olmalıdır. Eğer } n \text{ çift sayı ve } a < 0 \text{ ise, } $$ $$\sqrt[n]{a} \text{ ifadesi gerçel sayı belirtmez. Eğer } n \text{ tek ise, } a \text{ negatif de olsa } \sqrt[n]{a} \text{ ifadesi gerçel bir sayıdır.}
$$
Örnekler:$$\sqrt{4} = 2 \text{, çünkü} 2^2 = 4$$.$$\sqrt[3]{-8} = -2\text{, çünkü} (-2)^3 = -8$$.
Yukarıdaki sorunun çözümü şu şekildedir:
Aşağıdaki köklü ifadelerin değerini kendin bulmaya çalışabilirsin:
Şimdi de köklü ifadelerde bazı özellikleri ve kuralları öğrenelim:
Köklü Sayılarda Özellikler:
1. Köklü İfadenin Üslü İfade Biçiminde Yazılması:
Bir köklü ifadeyi üslü ifade biçiminde yazmak için kök derecesini üs olarak alırız.
Bu, şu şekilde ifade edilir:$$ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $$Örnekler:$$ \sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} $$$$ \sqrt[5]{-32} = (-32)^{\frac{1}{5}} $$
2. Köklü İfadelerin Rasyonel Üssünün Genişletilmesi ve Sadeleştirilmesi:
Bir köklü ifadeyi rasyonel üs şeklinde yazarken üssün payını ve paydasını genişletebilir veya sadeleştirebiliriz. Bu işlem, üssün pay ve paydasını aynı sayı ile çarpmak veya bölmek suretiyle yapılır.
Genişletme: Üssün pay ve paydasını aynı sayı ile çarparak ifadeyi genişletebiliriz.
$$ a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m \cdot k}{n \cdot k}} $$Örnek:$$ a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} = a^{\frac{4}{6}} $$
Sadeleştirme: Üssün pay ve paydasını aynı sayı ile bölerek ifadeyi sadeleştirebiliriz.
$$ a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m \div k}{n \div k}} $$Örnek:$$ a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{4 \div 2}{6 \div 2}} = a^{\frac{2}{3}} $$
Bir diğer sadeleştirme örneği:
$$ 8^{\frac{4}{6}} = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 $$
Genel örnekler:
- Genişletme: $$ 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = 5^{\frac{4}{8}} $$
- Sadeleştirme: $$ 16^{\frac{6}{8}} = 16^{\frac{6 \div 2}{8 \div 2}} = 16^{\frac{3}{4}} $$
3. Köklü Sayılarda Dört İşlem:
Köklü sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri belirli kurallara göre yapılır.
Toplama ve Çıkarma:
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi, ancak köklerin dereceleri ve içlerindeki sayıların aynı olması durumunda yapılabilir.
$$ a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b} $$$$ 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} $$
Çarpma ve Bölme:
Çarpma ve bölme işlemleri yapılırken kök dereceleri ve içlerindeki sayılar çarpılır veya bölünür.
$$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $$$$ \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6 $$$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$$$ \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 $$
4. İç İçe Köklerin Ayrılması:
İç içe köklerin ayrılması, kök ifadeleri sadeleştirmek için kullanılan bir yöntemdir.
Örnekler:
$$ \sqrt{\sqrt{a}} = a^{\frac{1}{4}} $$$$ \sqrt{50 + \sqrt{2500}} = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10 $$
5. Köklü Sayılarda Sıralama:
Köklü sayıları sıralarken, kök içindeki sayıların büyüklüğüne ve kökün derecesine dikkat etmeliyiz. Temel kurallar şunlardır:Kök Derecesi Aynı Olan Sayılar:Kök derecesi aynı olan sayılar, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralanır.
$$ \sqrt{a} \quad \text{ve} \quad \sqrt{b} \quad \text{durumunda} \quad \text{eğer} \quad a > b \quad \text{ise} \quad \sqrt{a} > \sqrt{b} $$Örnek:$$ \sqrt{5} \quad \text{ve} \quad \sqrt{3} \quad \text{durumunda} \quad 5 > 3 \quad \text{olduğu için} \quad \sqrt{5} > \sqrt{3} $$
Kök Derecesi Farklı Olan Sayılar:
Kök derecesi farklı olan sayılar, kök ifadelerini üslü ifadeye çevirerek sıralanabilir.
$$ \sqrt[n]{a} \quad \text{ve} \quad \sqrt[m]{b} \quad \text{durumunda} \quad \text{eğer} \quad a^{\frac{1}{n}} > b^{\frac{1}{m}} \quad \text{ise} \quad \sqrt[n]{a} > \sqrt[m]{b} $$Örnek:$$ \sqrt[3]{8} \quad \text{ve} \quad \sqrt{5} \quad \text{durumunda} $$$$ 8^{\frac{1}{3}} = 2 \quad \text{ve} \quad 5^{\frac{1}{2}} \approx 2.236 \quad \text{olduğu için} \quad \sqrt[3]{8} < \sqrt{5} $$
Farklı Kök Dereceleri ve Kök İçi Sayılar Aynı Olanlar:
Eğer kök içindeki sayılar aynı ama kök dereceleri farklıysa, kök derecesi daha büyük olan sayı daha küçüktür.
$$ \sqrt[m]{a} \quad \text{ve} \quad \sqrt[n]{a} \quad \text{durumunda} \quad \text{eğer} \quad m > n \quad \text{ise} \quad \sqrt[m]{a} < \sqrt[n]{a} $$
Örnek:$$ \sqrt[4]{16} \quad \text{ve} \quad \sqrt{16} \quad \text{durumunda} $$$$ 16^{\frac{1}{4}} = 2 \quad \text{ve} \quad 16^{\frac{1}{2}} = 4 \quad \text{olduğu için} \quad \sqrt[4]{16} < \sqrt{16} $$
Genel Örnekler:
- Örnek 1: $$ \sqrt{7} \quad \text{ve} \quad \sqrt{12} \quad \text{durumunda} \quad 7 < 12 \quad \text{olduğu için} \quad \sqrt{7} < \sqrt{12} $$
- Örnek 2: $$ \sqrt[3]{27} \quad \text{ve} \quad \sqrt[5]{32} \quad \text{durumunda} $$$$ 27^{\frac{1}{3}} = 3 \quad \text{ve} \quad 32^{\frac{1}{5}} \approx 2 \quad \text{olduğu için} \quad \sqrt[3]{27} > \sqrt[5]{32} $$
- Örnek 3: $$ \sqrt{4} \quad \text{ve} \quad \sqrt[3]{4} \quad \text{durumunda} $$$$ 4^{\frac{1}{2}} = 2 \quad \text{ve} \quad 4^{\frac{1}{3}} \approx 1.587 \quad \text{olduğu için} \quad \sqrt{4} > \sqrt[3]{4} $$
Yukardaki sorunun cevabı şu şekildedir:
EVEETT, Sanırım Köklü ifadeler konu anlatımı bu kadar. Artık köklü ifadelerin ne olduğunu biliyorsunuz. Şimdi öğrendiklerini pekiştirmen için aşağıda birkaç köklü sayılar alıştırma soruları paylaşıyorum. Soruları çözmeye çalışarak öğrendiklerini kullanmaya başla bakalım. Eksik hissettiğin noktada yukarıdaki notlardan kopya çekmekte özgürsün. Soruları çözmeye başlayabilirsin.
Yukardaki köklü sayılar alıştırma sorularının cevapları sırasıyla şu şekildedir: 1-D 2-E 3-A 4-E
Eğer bu alıstirmaların yeterli olmadığını düsünüyorsan ki bu durumda haklısın aşagıdaki butona tıklayarak MEB’in Köklü sayılar ile ilgili OGM Materyal sitesi üzerinde paylaşmış olduğu testlere ulaşabilirsin:
Tüm bunları yaptıysan yapman gereken sadece tek bir şey kaldı demektir. ÇIKMIŞ SORULARR… Evet, ÖSYM’nin köklü sayılar konusunda senden tam olarak ne istediğini öğrenebilmenin tek yolu çıkmış soruları incelemektir. Bunun ne kadar önemli olduğunu bildiğim ve senin bunu kaçırmaman gerektiğinin farkında olduğum için son yıllardaki Köklü Sayılar çıkmış sorularına aşağıdaki butona tıklayarak ulaşabilirsin.
Sonunda bitti artık… Tüm bunlara gerekli zamanı ve özeni gösterdiysen derin bir nefes alıp gönül rahatlığıyla sınava girebilirsin demektir. Unutma YKS’de Köklü sayılar 1 net demektir. Beni sosyal medya hesaplarimdan takip etmiyorsan çok şey kaybediyorsun demektir. Takip etmeye başlayarak sınav sürecinde sana yardımcı olmamı sağlayabilirsin. Sanq iyi çalışmalar diliyorum.
Devamını bekliyoruz hocam, sağolun